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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
b) $f(x)=2-x^{\frac{1}{3}}$
b) $f(x)=2-x^{\frac{1}{3}}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
No hay ninguna restricción, el dominio es $\mathbb{R}$.
2) Derivamos $f(x)$
$ f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} $
Muchísimo ojo acá. Consejo, reescribite esa derivada así, que todo se va a ver más claro:
$ f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} } $
😱 El dominio de $f'(x)$ no es el mismo que el de $f$. De hecho, ya estás viendo seguramente que el dominio de $f'(x)$ no incluye a $x=0$. Pero $x=0$ siiii estaba en el dominio de $f(x)$. Como vimos en clase, automáticamente ya $x=0$ es un punto crítico (candidato a máximo o mínimo)
Veamos ahora si hay otros puntos críticos igualando la derivada a cero:
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$ -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} } = 0 $
Esta ecuación nunca vale cero. Por lo tanto, el único punto crítico es $x=0$
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
$\square (-\infty, 0)$
$\square (0, +\infty)$
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
Acá podés elegir un número cualquiera que pertenezca a cada intervalo y te fijas el signo de $f'(x)$. Pero de todas formas, si mirás con cariño la expresión de $f'(x)$ te vas a dar cuenta que siempre siempre es negativa, no importa que $x$ vos pongas ahí. Por lo tanto $f$ es siempre decreciente.
Intervalo de crecimiento: $\emptyset$
Intervalo de decrecimiento: $\mathbb{R}$